初中阶段的代数最值问题，一般利用函数思想求解，而几何最值问题，则往往比较灵活，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维，难度较大，近几年来，几何最值问题在中考中频繁出现，往往出现在填空压轴题和解答压轴题的位置。题目形式新颖，往往让人无从下手，其中一类与隐圆有关的最值问题，越来越受到青睐，追踪动点的生成过程，研究其运动轨迹是隐圆解决这类题较为有效的方式。

解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合，逻辑推理等思想解决。

根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个顶点的距离相等，这里就常常隐藏一个圆，一般的方法：我们可以以这个定点为圆心，以这个距离为半径做出这个隐藏的圆，借助这个隐藏的圆可以帮我们解决问题。因为这个圆没有画出来，我们常把这个圆称为“隐圆”。

与隐圆相关的数学模型：

图1～图4是几种常见的隐圆模型，四个隐圆模型对应的依据分别为：（1）的圆周角所对的弦为直径；（2）如果四边形对角互补或者外角等于内对角，那么四边形四个顶点共圆；（3）定角对定弦；（4）到定点的距离等于定长的点的集合是圆．

下面由浅至深探究第三类定角对定弦模型的应用特色。

引例：在y正半轴作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图．保留作图痕迹）

【解析】作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后以MA为半径，M点为圆心作⊙M，则⊙M与y轴的交点即为P点．如图，∠APB为所作．

应用探究：

1．（2018秋崇川区校级月考）等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（　　）

A．2√2 B．2√5﹣2 C．4 D．2√2﹣2

【解析】：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝1/2BC＝2．

当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2．故选：B．

2．（2014秋江阴市期末）如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为_______．

【解析】首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF＝∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△AGD中，根据勾股定理，求出DG的长度DG＝√5，如图：

∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝√5﹣1

即线段DP的最小值为√5﹣1，故答案为：√5﹣1．

变式2．（2019春江岸区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝8，动点E从A出发向D运动，动点F从B出发向A运动，点E、F运动的速度相同．当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段BE、CF相交于点P，H是线段CD上任意一点，则AH+PH的最小值为（　　）

A．4√19 B．4√5 C．4√13 D．4√13﹣4

【解析】：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接HA′．

由轴对称的性质可知：HA＝HA′

∴HA+HP＝HA′+HP，

∴当HA′+PH最短时，HA+HP的值最小，

∵AE＝BF，BA＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，

∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，

∵∠ABE+∠CBP＝90°，∴∠BCP+∠CBP＝90°，∴∠CPB＝90°，

∴点P在是以BC为直径的⊙O上运动（图中弧BP′，P′是弧BC的中点），

当点P与P′重合时，HA+HP′的值最小，最小值＝线段P′A′的长，作P′G⊥AD于G，连接P′A′．

在Rt△P′A′G中，由勾股定理可求得P′A′＝4√10，

∴HA+HP的值最小为4√10，故选：A．

变式3．（2018陕西模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为_______．

【解析】：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，

由轴对称的性质可知：MD＝D′M，CD＝CD′＝2

∴PM+DM＝PM+MD′＝PD′

过点P作PE垂直DC，垂足为G，

易证AF⊥BE，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，

∴此时，PD′最短．

∵四边形ABCD为正方形，

∴PG＝1/2AD=1，GC＝1/2DC=1.．∴GD′＝3．

在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′＝√10．

故答案为：√10．

变式4．如图，等边三角形ABC中，AB＝6，动点E从点B出发向点C运动，同时动点F从点C出发向点A运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AE、BF相交于点P，点H是线段BC上的中点，则线段PH的最小值为_______　．

【解析】：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，

易证△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝60°，

∴∠ABF+∠BAE＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，

则P在以AB为弦，圆周角为120°的⊙O上，作OM⊥AB于M，连接OP、OH，在优弧AB上取一点K，连接AK、BK．

∵∠AKB+∠APB＝180°，∴∠AKB＝60°，

∴∠AOB＝2∠AKB＝120°，

∵OM⊥AB，OA＝OB，

拓展应用

1．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2015，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点，则使∠APB＝30°的点P有（　　）

A．0个 B．2014个 C．2015个 D．无数个

【解析】：以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，

以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．

在优弧AP1B上任取一点P，

则∠APB＝1/2∠ACB＝1/2×60°＝30°．

∴使∠APB＝30°的点P有无数个．故选：D．

2．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）

理解应用：（2）在（1）的条件下，

①若tan∠APB＝1/2，求点P的坐标；

②当点P的坐标为______　时，∠APB最大

拓展延伸：（3）若在直线y＝4/3x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．

【解析】：（1）∠APB如图所示；

（2）①如图2中，

∵∠APB＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠APB＝1/2＝AB/BC，

∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝4，BC＝8，∴C（6，8），

∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，

易知P（0，2），P′（0，6）．

②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，

此时AK＝PK＝4，AC＝8，

（3）如图3中，当经过AB的圆与直线相切时，且点P在x轴的上方时，∠APB最大．

∵直线y＝4/3x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4），

∵MP是切线，∴∠MPA＝∠MBP，∵∠PMA＝∠BMP，

∴△PMA∽△BMP，∴MP/BM=MA/MP，

3．（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，AB＝4，探究在△ABC的边上及其内部是否存在一点P，使得∠APB＝2∠ACB，若存在，请求出△ABP面积的最大值；若不存在，请说明理由；

问题解决：

（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，∠ACB＝30°，点P是平面内一点，且∠APB＝2∠ACB，请在图中作出满足条件的所有点P，并求出△ABP面积的最大值；

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝30°，在坐标平面内是否存在一点P，使得∠CPB＝2∠ACB，且△CBP的面积及周长取得最大值？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】：（1）存在．如图①中，以AB为直径作⊙O交BC于K，连接OK，AK．

∵AB是直径，∴∠AKB＝90°，∴AK⊥BC，

∵AC＝AB，∠CAB＝90°，AB＝4，

（2）如图②中，以AB为边作等边△ABD，等边△ABD′，作△ABD，△ABD′的外接圆．

∵∠APB＝2∠ACB＝60°，

∴满足条件的点P或P′在优弧ADB，优弧AD′B上，

当点P与D或点P′与D′重合时，△PAB，△P′AB的面积最大，面积的最大值＝√3/4×AB2＝4√3．

（3）如图③中，当点P在直线BC的上方时，以BC为边，向上作等边△BCD，作△BCD的外接圆⊙Q，以D为圆心，DC为半径作⊙D，延长CD交⊙D于F．

由题意满足条件的点P在优弧CDB上，延长CP交⊙D于T，连接BT．

∵∠CTB＝1/2∠CDB＝30°，

又∵∠CPB＝∠PTB+∠PBT＝60°，∴∠PBT＝∠PTB＝30°，

∴PB＝PT，∴PC+PB＝PC+PT＝CT，

∴当CT是直径时，即点P与点D重合时，PC+PB的值最大，此时△PBC的周长最大且△PBC的面积最大，

∵B（4，0），∴OB＝4，

∵∠BOC＝90°，∠BCO＝30°，

∴CD＝BC＝8，OC＝4√3，

∵∠DCB＝∠CBO＝60°，∴CD∥OB，∴P（8，4√3），

根据对称性可知，当点P在直线BC的下方时，满足条件的点P的坐标为（﹣4，0），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，4√3）或（﹣4，0）．

只要我们仔细观察，积极思考，以题变而解题思维不变来应对，就能较好的掌握这类题的解法，就能从中不断提高分析和解决问题的能力。“道是无圆却有圆”，解决隐圆问题的关键在于如何找到那个隐藏的圆。只要“圆”形毕露，那么答案也可信手拈来。