中考难点,道是无圆却有圆,一类隐圆问题露倪端

2020-02-03 11:19:14     浏览次数:1159次

初中阶段的代数最值问题,一般利用函数思想求解,而几何最值问题,则往往比较灵活,具有很强的探索性,解题时需要运用动态思维,难度较大,近几年来,几何最值问题在中考中频繁出现,往往出现在填空压轴题和解答压轴题的位置。题目形式新颖,往往让人无从下手,其中一类与隐圆有关的最值问题,越来越受到青睐,追踪动点的生成过程,研究其运动轨迹是隐圆解决这类题较为有效的方式。

解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合,逻辑推理等思想解决。

根据圆的定义,在解决几何问题中,只要观察出几个点到同一个顶点的距离相等,这里就常常隐藏一个圆,一般的方法:我们可以以这个定点为圆心,以这个距离为半径做出这个隐藏的圆,借助这个隐藏的圆可以帮我们解决问题。因为这个圆没有画出来,我们常把这个圆称为“隐圆”。

与隐圆相关的数学模型:

图1~图4是几种常见的隐圆模型,四个隐圆模型对应的依据分别为:(1)的圆周角所对的弦为直径;(2)如果四边形对角互补或者外角等于内对角,那么四边形四个顶点共圆;(3)定角对定弦;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是圆.

下面由浅至深探究第三类定角对定弦模型的应用特色。

引例:在y正半轴作点P,使得∠APB=∠ACB(尺规作图.保留作图痕迹)

【解析】作AC的垂直平分线得到AC的中点O,然后以MA为半径,M点为圆心作⊙M,则⊙M与y轴的交点即为P点.如图,∠APB为所作.

应用探究:

1.(2018秋崇川区校级月考)等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为(  )

A.2√2 B.2√5﹣2 C.4 D.2√2﹣2

【解析】:∵∠CHB=90°,BC是定值,∴H点是在以BC为直径的半圆上运动(不包括B点和C点),连接HO,则HO=1/2BC=2.

当A、H、O三点共线时,AH最短,此时AH=AO﹣HO=2﹣2.故选:B.

2.(2014秋江阴市期末)如图,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P,则线段DP的最小值为_______

【解析】首先判断出△ABE≌△DAF,即可判断出∠DAF=∠ABE,再根据∠ABE+∠BEA=90°,可得∠FAD+∠BEA=90°,所以∠APB=90°;然后根据点P在运动中保持∠APB=90°,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧,设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,最后在Rt△AGD中,根据勾股定理,求出DG的长度DG=√5,如图:

∵PG=AG=1,∴DP=DG﹣PG=√5﹣1

即线段DP的最小值为√5﹣1,故答案为:√5﹣1.

变式2.(2019春江岸区校级月考)如图,正方形ABCD中,AB=8,动点E从A出发向D运动,动点F从B出发向A运动,点E、F运动的速度相同.当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段BE、CF相交于点P,H是线段CD上任意一点,则AH+PH的最小值为(  )

A.4√19 B.4√5 C.4√13 D.4√13﹣4

【解析】:如图,作点A关于直线CD的对称点A′,连接HA′.

由轴对称的性质可知:HA=HA′

∴HA+HP=HA′+HP,

∴当HA′+PH最短时,HA+HP的值最小,

∵AE=BF,BA=BC,∠BAE=∠CBF=90°,

∴△BAE≌△CBF(SAS),∴∠ABE=∠BCF,

∵∠ABE+∠CBP=90°,∴∠BCP+∠CBP=90°,∴∠CPB=90°,

∴点P在是以BC为直径的⊙O上运动(图中弧BP′,P′是弧BC的中点),

当点P与P′重合时,HA+HP′的值最小,最小值=线段P′A′的长,作P′G⊥AD于G,连接P′A′.

在Rt△P′A′G中,由勾股定理可求得P′A′=4√10,

∴HA+HP的值最小为4√10,故选:A.

变式3.(2018陕西模拟)如图,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P,M是线段BC上任意一点,则MD+MP的最小值为_______

【解析】:如图作点D关于BC的对称点D′,连接PD′,

由轴对称的性质可知:MD=D′M,CD=CD′=2

∴PM+DM=PM+MD′=PD′

过点P作PE垂直DC,垂足为G,

易证AF⊥BE,故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上,当点E与点D重合,点F与点C重合时,PG和GD′均最短,

∴此时,PD′最短.

∵四边形ABCD为正方形,

∴PG=1/2AD=1,GC=1/2DC=1..∴GD′=3.

在Rt△PGD′中,由勾股定理得:PD′=√10.

故答案为:√10.

变式4.如图,等边三角形ABC中,AB=6,动点E从点B出发向点C运动,同时动点F从点C出发向点A运动,点E、F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AE、BF相交于点P,点H是线段BC上的中点,则线段PH的最小值为_______ 

【解析】:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠ABE=∠BCF,

易证△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF,

∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60°,

∴∠ABF+∠BAE=60°,∴∠APB=180°﹣60°=120°,

则P在以AB为弦,圆周角为120°的⊙O上,作OM⊥AB于M,连接OP、OH,在优弧AB上取一点K,连接AK、BK.

∵∠AKB+∠APB=180°,∴∠AKB=60°,

∴∠AOB=2∠AKB=120°,

∵OM⊥AB,OA=OB,

拓展应用

1.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(2015,0),点P是该平面直角坐标系内的一个动点,则使∠APB=30°的点P有(  )

A.0个 B.2014个 C.2015个 D.无数个

【解析】:以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC,

以点C为圆心,AC为半径作⊙C,交y轴于点P1、P2.

在优弧AP1B上任取一点P,

则∠APB=1/2∠ACB=1/2×60°=30°.

∴使∠APB=30°的点P有无数个.故选:D.

2.已知A(2,0),B(6,0),CB⊥x轴于点B,连接AC

画图操作:(1)在y正半轴上求作点P,使得∠APB=∠ACB(尺规作图,保留作图痕迹)

理解应用:(2)在(1)的条件下,

①若tan∠APB=1/2,求点P的坐标;

②当点P的坐标为______ 时,∠APB最大

拓展延伸:(3)若在直线y=4/3x+4上存在点P,使得∠APB最大,求点P的坐标.

【解析】:(1)∠APB如图所示;

(2)①如图2中,

∵∠APB=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠APB=1/2=AB/BC,

∵A(2,0),B(6,0),∴AB=4,BC=8,∴C(6,8),

∴AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆,交y轴于P和P′,

易知P(0,2),P′(0,6).

②当⊙K与y轴相切时,∠APB的值最大,

此时AK=PK=4,AC=8,

(3)如图3中,当经过AB的圆与直线相切时,且点P在x轴的上方时,∠APB最大.

∵直线y=4/3x+4交x轴于M(﹣3,0),交y轴于N(0,4),

∵MP是切线,∴∠MPA=∠MBP,∵∠PMA=∠BMP,

∴△PMA∽△BMP,∴MP/BM=MA/MP,

3.(1)如图①,在等腰直角三角形ABC中,AB=4,探究在△ABC的边上及其内部是否存在一点P,使得∠APB=2∠ACB,若存在,请求出△ABP面积的最大值;若不存在,请说明理由;

问题解决:

(2)如图②,在△ABC中,AB=4,∠ACB=30°,点P是平面内一点,且∠APB=2∠ACB,请在图中作出满足条件的所有点P,并求出△ABP面积的最大值;

(3)如图③,在平面直角坐标系中,点A与原点O重合,B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=30°,在坐标平面内是否存在一点P,使得∠CPB=2∠ACB,且△CBP的面积及周长取得最大值?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】:(1)存在.如图①中,以AB为直径作⊙O交BC于K,连接OK,AK.

∵AB是直径,∴∠AKB=90°,∴AK⊥BC,

∵AC=AB,∠CAB=90°,AB=4,

(2)如图②中,以AB为边作等边△ABD,等边△ABD′,作△ABD,△ABD′的外接圆.

∵∠APB=2∠ACB=60°,

∴满足条件的点P或P′在优弧ADB,优弧AD′B上,

当点P与D或点P′与D′重合时,△PAB,△P′AB的面积最大,面积的最大值=√3/4×AB2=4√3.

(3)如图③中,当点P在直线BC的上方时,以BC为边,向上作等边△BCD,作△BCD的外接圆⊙Q,以D为圆心,DC为半径作⊙D,延长CD交⊙D于F.

由题意满足条件的点P在优弧CDB上,延长CP交⊙D于T,连接BT.

∵∠CTB=1/2∠CDB=30°,

又∵∠CPB=∠PTB+∠PBT=60°,∴∠PBT=∠PTB=30°,

∴PB=PT,∴PC+PB=PC+PT=CT,

∴当CT是直径时,即点P与点D重合时,PC+PB的值最大,此时△PBC的周长最大且△PBC的面积最大,

∵B(4,0),∴OB=4,

∵∠BOC=90°,∠BCO=30°,

∴CD=BC=8,OC=4√3,

∵∠DCB=∠CBO=60°,∴CD∥OB,∴P(8,4√3),

根据对称性可知,当点P在直线BC的下方时,满足条件的点P的坐标为(﹣4,0),

综上所述,满足条件的点P的坐标为(8,4√3)或(﹣4,0).

只要我们仔细观察,积极思考,以题变而解题思维不变来应对,就能较好的掌握这类题的解法,就能从中不断提高分析和解决问题的能力。“道是无圆却有圆”,解决隐圆问题的关键在于如何找到那个隐藏的圆。只要“圆”形毕露,那么答案也可信手拈来。